ArsGnomonica - Orologi Solari ("Meridiane")

I risultati di calcolo sono ottenuti con le formule raccolte qui sotto, che considerano tutte le incognite richieste ed i casi possibili, permettendo così di calcolare l’elevazione dello stilo, l’angolo sustilare, l’angolo al polo, l’ora sustilare e gli angoli delle linee orarie per gli orologi generici, per quelli orizzontali, per quelli verticali, per quelli polari e per quelli equatoriali.

	L’elevazione dello stilo		L’angolo sustilare
Orologio generico			, e se , allora , e se , allora

Orologio orizzontale

Orologio verticale			, e se , allora , e se , allora

Orologio polare			se , allora , e se , allora	se , allora

Orologio equatoriale	se , allora	se , allora

	L’angolo P al polo		L’ora sustilare t	Gli angoli delle linee orarie t
Orologio generico	se , allora , e se , allora	se , allora		se , allora , e se , allora	se , allora

Orologio orizzontale				come l’orologio generico
Orologio verticale	, e se , allora			come l’orologio generico

Orologio polare	se , allora , e se , allora	se , allora

Orologio equatoriale

Le formule presentate qui sopra costituiscono la sintesi della teoria su cui si basa il calcolo degli orologi solari: per una trattazione assai più ampia ed approfondita di tutte le formule, delle incognite, del loro utilizzo, del loro calcolo, della casistica ecc. ti consiglio di consultare gli Appunti di gnomonica che ho scritto per te, se sei interessato al calcolo degli orologi solari, naturalmente!

Qui troverai non solo un capitolo dedicato a ciascuna incognita, ma decine di esempi di calcolo, con tanto di spiegazioni e risultati!

Le particolarità dell’orologio calcolato possono essere visualizzate automaticamente (non avendone inibita l’apparizione) o su richiesta, cliccando sul bottone relativo, in basso a sinistra.
Nella finestra delle particolarità è dichiarato l’orientamento del piano dell’orologio, che può essere orizzontale, verticale, polare (parallelo o contenente l’asse polare terrestre) o equatoriale (parallelo o contenente il piano equatoriale terrestre). Noterai che non sempre un caso esclude l’altro: ad esempio un orologio può essere verticale-polare.
Inoltre ti verranno indicate altre peculiarità dell’orologio e delle sue componenti, come lo stilo, la meridiana, la sustilare, la linea dell’orizzonte, le stesse linee orarie, le curve diurne ecc.
La finestra si chiude facendo doppio clic col mouse o premendo un qualsiasi tasto della tastiera.

Nella cornice dei risultati, invece, ti verranno fornite tutte le informazioni relative allo stilo ed alle linee chiave del quadrante, come la meridiana e la sustilare.
L’elevazione dello stilo (epsilon), misurata ovviamente dal piano dell’orologio, può risultare positiva per indicare che lo stilo, uscente dal piano, punta verso il polo nord celeste, oppure negativa per indicare che lo stilo punta al polo sud.
Gli angoli della linea sustilare (proiezione dello stilo sul piano, linea superflua che Phoebus calcola a scopo di controllo, ma non disegna) e della linea meridiana (che indica l’istante del transito del Sole al meridiano locale, il mezzodì) sono misurati, positivi in senso antiorario, a partire dalla porzione superiore della retta di massima pendenza del piano nel caso di orologi non orizzontali (che diventa verticale negli orologi verticali), oppure dal nord nel caso di orologi orizzontali (in questo caso la meridiana e la sustilare coincidono tra loro e col meridiano).
Tutte le linee orarie considerate (calcolate e tracciate) sono ovviamente solo quelle comprese entro il periodo di illuminazione del quadrante, che va dall’istante di accensione a quello di spegnimento.

Il sistema di coordinate cartesiane (x e y) usato per tabulare i risultati e per tracciare il disegno dell’orologio è centrato (inizialmente) sulla base dello stilo, e può rappresentare due orientamenti diversi, a seconda della disposizione del piano dell’orologio: negli orologi orizzontali l’asse delle ascisse rappresenta la direzione est-ovest (positive ad est, a destra nel disegno), mentre l’asse delle ordinate segue l’asse nord-sud (positive a nord, in alto nel disegno); negli orologi verticali ed inclinati, invece, l’asse delle ascisse, anche qui orizzontale, segue la direzione perpendicolare alla declinazione del piano, cioè l’intersezione tra il piano orizzontale e il piano dell’orologio (anche in questo caso positive verso destra), mentre l’asse delle ordinate segue la retta di massima pendenza del piano, verticale negli orologi verticali (positive verso la parte alta del piano, in alto nel disegno).
Il sistema, come detto, è centrato inizialmente sulla base dello stilo polare, nel cosiddetto punto eclittico (o centro dell’orologio), origine delle coordinate cartesiane e polo di quelle polari; per comodità, comunque, l’origine del sistema cartesiano (ma non di quello polare) può essere spostata sul piede dello stilo polare, o base dell’ortostilo. Ovviamente in ciascuna delle due condizioni tutte le coordinate cartesiane dei punti chiave dell’orologio vengono ricalcolate di conseguenza e visualizzate.
Esistono due casi particolari in cui il sistema di coordinate cartesiane è fisso (sul piede dello stilo) e non può essere spostato: negli orologi equatoriali (quando cioè lo stilo polare è anche ortostilo, caso in cui, perciò, piede e base dello stilo polare coincidono) o negli orologi polari (in cui, diventando lo stilo polare di lunghezza infinita, poiché parallelo al piano, si considera già in partenza solo l’ortostilo). Per questo motivo in quei due casi le due opzioni per il posizionamento del sistema di coordinate sono disabilitate.
La linea dell’orizzonte, se presente, viene indicata con la sua ordinata (posizione rispetto all’origine degli assi cartesiani, che per quanto abbiamo appena detto, può essere mobile), indicandone perciò il segno la posizione: se positivo indica che la linea passa più in alto dell’origine, se negativo più in basso (in pratica il valore visualizzato è la costante k nell’equazione della retta orizzontale y=k); il valore assoluto naturalmente esprime la distanza.

I risultati sono calcolati e tabulati per i tre classici sistemi orari: quello moderno (o francese), quello italico e quello babilonico. Nel sistema moderno le linee orarie calcolate e tabulate sono sempre quelle vere (locali o del fuso, a seconda dell’opzione scelta), che poi possono essere eventualmente convertite in ore medie con l’equazione del tempo disegnata a parte, o con le lemniscate o con le equazioni del tempo disegnate sulle linee orarie vere; nota che per semplicità né le equazioni del tempo (sia quella singola sia quelle sulle linee) né le lemniscate, pur se richieste, vengono tabulate (allungherebbero in maniera esagerata la tabella dei risultati), ma sono calcolate e generate salvando l’orologio come disegno DXF, e nel caso delle lemniscate e delle equazioni del tempo, anche nell’anteprima a video (e quindi, volendo, possono essere salvate come immagine in formato BMP o copiate, sempre come immagine, negli appunti di Windows).
Mentre nel sistema moderno la tabella comprende tutte le declinazioni solari contemplate dal programma (zodiacali, mensili, a ore intere e personali), nei sistemi italico e babilonese, per semplicità, si considerano solo le 7 declinazioni zodiacali.
Le tabelle si sviluppano lungo righe, corrispondenti alle linee orarie, e colonne, corrispondenti agli archi diurni.
Le ore vanno da quella in cui il piano “si accende” a quella in cui “si spegne”, con in mezzo tutte le ore intermedie secondo il passo prescelto. Le linee orarie (ore intere) sono evidenziate dai caratteri in grassetto, le linee sub-orarie (mezze ore, quarti d’ora ecc.) dai caratteri normali.
La meridiana del sistema moderno, se presente, è riconoscibile dai caratteri in corsivo (che nell’output su file TXT diventa una M che accompagna l’ora).
Le coordinate visualizzate, come detto, sono quelle cartesiane riferite all’origine indicata nella cornice dei risultati angolo-metrici.
Oltre che con le coordinate cartesiane i punti d’ombra (degli orologi non polari) nel sistema moderno sono espressi anche con le coordinate polari nell’output su file TXT e su carta. Ricorda che in questo sistema il polo (origine) è fisso e coincide sempre colla base dello stilo (anche se cambi l’origine del sistema cartesiano, portandola sul piede).
I moduli (le distanze) dei punti d’ombra si misurano lungo le linee orarie, ovviamente dal polo ed in valore assoluto. Le anomalie omega (gli angoli) delle linee orarie si misurano dall’asse polare, che non è, come di solito in goniometria, il semiasse +x, né la retta di massima pendenza, o la verticale, o la direzione del nord (dalle quali Phoebus misura la meridiana e la sustilare), ma è, invece, proprio la linea sustilare (che negli orologi equatoriali, non esistendo di per sé, in quanto degenerante in un punto, base dello stilo, è sostituita a questo scopo dalla meridiana). Gli angoli, positivi in senso orario (anziché antiorario come solitamente in goniometria), sono espressi in gradi sessagesimali.
Negli orologi polari l’anomalia omega è sostituita dalla distanza d tra la linea oraria e la sustilare (tutte parallele): d è negativa per le linee delle ore che precedono l’ora sustilare, positiva per quelle che la seguono.

Ciascuna linea oraria è tabulata (orizzontalmente) per punti, corrispondenti agli incroci della stessa con gli archi diurni. Ogni casella di dati (punto) fornisce diverse informazioni, nella forma e nel contenuto.
Osserva innanzitutto le colonne di dati, corrispondenti agli archi diurni: l’intestazione di ciascuna colonna ti dice di quale linea diurna si tratta (ad es., se zodiacale, a quale segno si riferisce), quindi quale è la declinazione del Sole in quei due giorni dell’anno in cui l’estremità dell’ombra dello gnomone la percorre, infine di che tipo di curva conica si tratta.
Le colonne di dati possono essere interamente vuote (riconoscibili anche dal fondo scuro), oppure parzialmente o totalmente piene di dati.
Nel primo caso si tratta in generale di linee diurne non calcolabili, cioè non visibili sul quadro o sull’orizzonte (a causa della collocazione geografica e/o dell’orientamento del piano), o in particolare di linee diurne mensili, a ore intere o personali visibili ma non considerate da te, quindi non calcolate.
Nel secondo caso si tratta, ovviamente, di linee diurne visibili e da te considerate, quindi calcolate. Nota che le colonne di dati relative alle 7 linee diurne zodiacali, se presenti sul quadro e sull’orizzonte, vengono sempre calcolate: in particolare se hai scelto di tracciare la corrispondente linea nel disegno, i dati nelle caselle di quella colonna saranno scritti in caratteri neri, altrimenti saranno scritti in caratteri grigi.
Più in generale, ogni punto calcolato (sia di linee zodiacali, che di linee mensili ecc.) può presentarsi nella corrispondente casella di dati in 3 diversi modi:
1) se la casella è vuota significa che quel giorno (declinazione del Sole) a quell’ora il piano è in ombra, pertanto il punto non può essere tracciato;
2) se la casella presenta la dicitura “d>>>” significa che quel giorno a quell’ora la luce del Sole è radente sul piano dell’orologio, proiettando l’ombra dello gnomone a enorme distanza¹ (oltre 100000 unità, cioè 100 m se usi il millimetro, 1 km se usi il centimetro, e così via), rendendo così impossibile ed inutile l’individuazione del punto d’ombra: tutt’al più, nel sistema moderno, sarà sufficiente sapere che si trova comunque lungo la direzione omega;
3) se il punto d’ombra è tracciabile, le sue coordinate cartesiane¹ x e y ne esprimeranno la posizione rispetto all’origine del sistema.

¹ Le misure lineari (lunghezze, distanze, coordinate ecc.) sono calcolate ed espresse secondo la stessa unità di misura (millimetri, centimetri ecc.) che hai considerato per la sporgenza dello stilo.

All’apertura dell’anteprima l’orologio viene mostrato in tutta la sua estensione.

Le funzioni di “navigazione” disponibili nell’anteprima sono due: lo zoom e la panoramica¹. Sfruttando entrambe le funzioni puoi visualizzare ogni parte del quadrante.

Inizialmente ti trovi in modalità zoom, indicata dall’aspetto di lente d’ingrandimento che assume il puntatore del mouse; in alternativa puoi passare alla modalità panoramica, indicata dall’aspetto di una mano aperta, tramite il menu attivabile col tasto destro del mouse.

In ogni momento, e in qualsiasi modalità, la posizione del puntatore sullo schermo è visualizzata nella barra del titolo della finestra, sia in coordinate cartesiane che polari (le coordinate e la posizione sono quelle del centro della lente o della mano). Nel caso particolare dell’orologio polare le coordinate polari sono sostituite dalla distanza del punto dalla sustilare².

Per ingrandire una porzione del quadrante è sufficiente, in modalità zoom, tracciare una finestra rettangolare intorno alla parte interessata: basta cliccare su un vertice del rettangolo da ingrandire, poi muovere il mouse per definire la finestra, quindi cliccare per confermare la posizione del vertice opposto.

È inoltre disponibile la comoda possibilità di effettuare uno zoom istantaneo: facendo un doppio clic al centro della zona che vuoi ingrandire, quella sarà inquadrata al centro dello schermo ed ingrandita di un fattore 2X.

Per panoramicare, cioè per trascinare l’immagine del quadrante, in una direzione è necessario, in modalità panoramica, cliccare sul punto che si vuol trascinare, quindi spostare il puntatore nella nuova posizione che si vuol dare a quel punto e cliccare di nuovo, come se stessi spostando un disegno sul tavolo.

Per avvicinare ed allontanare il disegno dell’orologio puoi usare oltre al mouse anche i tasti + e -, rispettivamente, per raddoppiare o dimezzare l’ingrandimento del disegno (senza spostare l’inquadratura).

Durante lo zoom e la panoramica noterai la visualizzazione (insieme alle coordinate correnti del puntatore), rispettivamente, delle misure della finestra che stai tracciando (utili anche come informazione sull’ingombro del quadro che stai definendo), e quelle dello spostamento che stai per effettuare (le componenti in x ed in y della panoramica, cioè i loro segni, si riferiscono alla traslazione dell’immagine rispetto allo schermo, e non al contrario).

Inizialmente l’orologio viene visualizzato secondo il sistema orario correntemente selezionato nella tabella dei risultati (coordinate dei punti d’ombra): se ad esempio al momento della richiesta dell’anteprima stavi visualizzando le linee orarie del sistema italico, l’anteprima si aprirà sulle linee italiche.

Naturalmente, in qualsiasi momento durante l’anteprima, puoi cambiare sistema orario, passando dall’uno all’altro o visualizzandoli insieme.

Puoi nascondere o mostrare le linee orarie, e se presenti le sub-orarie e le lemniscate; queste ultime puoi visualizzarle intere o sdoppiandole in due stagioni per volta, per facilitare la lettura (come nel Doppio quadrante in maiolica).

Così come puoi nascondere o mostrare le linee diurne zodiacali, mensili, dei dì ad ore intere e quelle personali, o le intestazioni delle ore, che puoi esprimere sia in numeri indo-arabi che in numeri romani, e nel carattere che preferisci, scegliendolo tra tutti quelli che hai installati nel tuo sistema.

Naturalmente puoi cambiare i colori di ogni oggetto sullo schermo, dallo sfondo ai caratteri, alle singole linee (orarie, lemniscate, diurne ecc.), e delle linee orarie e delle lemniscate anche gli spessori.

I colori, come gli spessori, aiutano a leggere l’orologio, e così, ad esempio, riconoscerai subito le linee diurne zodiacali dalle mensili o da quelle dei dì ad ore intere o dalle personali, poiché le prime saranno grigie, le seconde blu, le terze viola e le quarte azzurre (comunque tutti colori, come detto, personalizzabili).

Puoi visualizzare il riepilogo dei dati ed i risultati di calcolo, e le eventuali particolarità dell’orologio calcolato (la finestra si chiude facendo doppio clic col mouse o premendo un qualsiasi tasto della tastiera); puoi leggere e salvare l’orologio o la sua immagine in diversi formati, copiare l’anteprima negli Appunti di Windows e stamparla su carta.

Zoomando noterai che non è possibile³ allargare l’inquadratura oltre l’estensione massima del disegno, o spingersi troppo in profondità con le zoomate (entrambe le operazioni non avrebbero infatti molto senso).

¹ In realtà, più che di panoramica, intesa come spostamento dell’inquadratura, mobile, sul disegno, fisso, si dovrebbe parlare, al contrario, di spostamento o trascinamento del disegno, dell’immagine, mobile, sullo schermo, fisso. Ma questa è quasi filosofia…

² Sebbene le coordinate polari (o la distanza) appaiano sempre, anche se, ad esempio, stai visualizzando il sistema italico, esse ovviamente hanno un senso ed un’effettiva utilità se riferite al sistema principale, che è appunto quello moderno.

³ Queste limitazioni riguardano solo l’anteprima a video, non coinvolgendo in alcun modo i risultati del calcolo o l’uscita degli stessi nei formati TXT e DXF.

Un orologio appena calcolato, oltre che salvato ed esportato in diversi formati, naturalmente può anche essere stampato su carta. La stampa può riguardare sia i risultati di calcolo, sotto forma di coordinate dei punti d’ombra, sia l’immagine d’anteprima.

La stampa su carta dei risultati consiste nei dati di input riportati per esteso, nei risultati di calcolo generali, e nella tabella di coordinate dei punti d’ombra, intersezioni delle linee orarie con quelle diurne.

Noterai che la tabella stampata è quella del sistema orario la cui scheda è correntemente visualizzata nella finestra dei risultati: se, ad esempio, stampi avendo visualizzata la tabella del sistema italico, anche la stampa conterrà la tabella di coordinate dei punti d’ombra delle linee italiche (in aggiunta ai dati di input e ai risultati di calcolo generali, sempre stampati). Questo vale anche dall’anteprima: se stai visualizzando, ad esempio, l’immagine d’anteprima del sistema babilonico, ma prima di entrare nell’anteprima avevi selezionato nella finestra dei risultati la scheda delle coordinate del sistema moderno, sarà quest’ultimo ad essere stampato.

Questa scelta nasce dalla considerazione che molto spesso quello che interessa è un solo sistema orario e che perciò non sia necessario stampare dati non richiesti (linee orarie degli altri sistemi), che prolungherebbero inutilmente la stampa. Questo vale ancora di più quando, avendo scelto un passo orario ridotto (linee orarie ogni quarto d’ora, o anche meno), il numero di pagine da stampare cresce notevolmente, crescendo così anche lo spreco di tempo e di carta, in caso di stampa di tutti e tre i sistemi, quando invece ne interessa uno solo.

La stampa dell’immagine d’anteprima, più semplicemente, contiene ciò che vedi: la porzione di orologio inquadrata sullo schermo è quella che sarà stampata su carta (qualunque sistema visualizzi).

Le uniche scelte riguarderanno le normali opzioni di stampa: formato del foglio, orientamento, risoluzione ecc.

A proposito del formato del foglio e del suo orientamento, noterai che, quali che siano, l’immagine da stampare manterrà sempre le sue proporzioni (e ci mancherebbe...): in ogni caso ti verrà proposta la massima dimensione di stampa possibile in funzione dei suddetti parametri, dimensione che potrai ridurre, se non vorrai occupare tutto il foglio, ma certo non oltrepassare.

In ogni caso mi sento di suggerirti una considerazione, che mi sembra importante.

La stampa dell’anteprima andrebbe presa per quello che è: una bozza dell’orologio, un’anteprima, appunto, non un disegno esecutivo, affidabile e perfetto nel suo schema, e su cui impostare tutto il lavoro di realizzazione concreta (per questo scopo, invece, consiglio vivamente l’esportazione in CAD col formato DXF).

Certe stampanti, infatti, magari non perfettamente tarate, potrebbero introdurre nell’uscita su carta una distorsione dell’immagine, seppur minima, falsando le proporzioni della stessa: ad esempio, una volta stampata un’anteprima su un foglio A3 (o se sei fortunato A2 ed oltre), potresti ottenere, senza accorgertene, uno schema allungato di uno o due millimetri secondo una dimensione e schiacciato nell’altra.

Può non sembrarti molto grave, ma se farai come qualcuno, che poi ingrandisce con le fotocopie la stampa dell’anteprima, per arrivare ad ottenere il disegno esecutivo a grandezza naturale, non solo non eliminerai quella distorsione continuando a portartela dietro, ma ne introdurresti altre dovute alle operazioni di fotocopiatura, o peggio di collage tra i fogli, che di certo non farebbero bene alla precisione dello strumento, vanificando così l’accuratezza impiegata nel calcolo.

In definitiva, dunque, ribadirei il concetto di prima: usare la stampa dell’anteprima come base per il bozzetto ed il completamento dell’orologio con decorazioni, cornici ecc. schizzato a mano, ma affidare poi la stampa del disegno esecutivo in scala 1:1 ad un programma di CAD tramite un plotter, sistema per sua natura ben più idoneo a queste operazioni, oppure tracciare lo schema orario direttamente sul quadro tramite le coordinate cartesiane o polari dei punti d’ombra.