Progettazione e Realizzazione di Orologi Solari


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Da un articolo pubblicato su Gnomonica Italiana, n. 15 – giugno 2008

Date civili, segni zodiacali, stagioni e declinazioni

Come spesso mi accade, questi appunti sono nati per riordinare le mie idee, e solo dopo (secondo un processo credo comune anche ad altri) ho pensato di pubblicarli con la speranza di offrire un contributo interessante.

Purtuttavia, accingendomi a “spaccare il capello in quattro” (probabilmente senza che la comunità gnomonica ne senta un reale od urgente bisogno), chiedo ai pazienti lettori di voler considerare il presente articolo come un semplice studio compiuto per puro amore di teoria, con la consapevolezza che ben scarse siano le ripercussioni sul piano pratico…

Vorrei altresì specificare che nel corso della trattazione, per i nomi delle stagioni, considererò per comodità quelli astronomici o boreali (che sono invertiti nell’emisfero australe): così, ad esempio, parlando di solstizio d’estate intenderò quello di giugno (non quello di dicembre, che introduce l’estate nell’emisfero sud), senza esplicitarlo tutte le volte.

Vorrei chiarire inoltre che anche in questo studio, come normalmente si fa in questi casi, si considera la declinazione solare fissa per tutto l’arco di una giornata, trascurando la variazione continua che in realtà essa subisce in ogni momento, sebbene riferendola ad un preciso istante secondo i criteri illustrati più avanti.

Vorrei infine aggiungere che gli eventi astronomici (come l’inizio delle stagioni) citati negli esempi seguenti sono calcolati con le formule della teoria VSOP87 di Bretagnon e Francou, riportate tra gli altri da J. Meeus nel suo imprescindibile Astronomical algorithms.

Date, ore e declinazioni

Per tracciare sui miei quadranti solari, oltre alle linee orarie, anche quelle diurne, mi occorre conoscere le declinazioni corrispondenti alle quali il Sole si trova giorno per giorno.

Escludendo il caso in cui volessi tracciare una linea direttamente corrispondente ad una declinazione solare (concettualmente quindi non proprio una linea diurna), caso che non va nemmeno discusso (usando senz’altro il valore della declinazione stessa nel calcolo), possono dunque presentarsi due ipotesi distinte:

  1. se la linea diurna che voglio tracciare si riferisce alla data di un fenomeno astronomico (come l’ingresso del Sole in un segno zodiacale), allora devo innanzitutto conoscere l’istante in cui tale fenomeno si verifica, cioè non solo la data ma anche l’ora (e i minuti, più che sufficienti), per poter solo dopo calcolare la declinazione del Sole in quel momento, ed usarla nel calcolo;
  2. se invece la linea diurna che voglio tracciare deve riferirsi ad una data del calendario civile (come un anniversario, una festività, un compleanno), allora innanzitutto posso anche decidere io l’istante (ore e minuti) nel giorno in questione, e solo dopo calcolare la declinazione del Sole in quel momento per usarla nel calcolo.

Affrontando entrambi i casi, comunque, mi trovo subito di fronte al problema: il calendario solare che mi accingo a calcolare e disegnare deve funzionare per sempre (magari…), cioè per un qualsiasi anno da quello corrente ad un futuro più lontano possibile; ma gli anni non sono tutti uguali (si pensi solo ai bisestili) e, più in particolare, riguardo ai fenomeni prettamente astronomici, non sono sempre le stesse le date e le ore in cui il Sole raggiunge particolari posizioni sulla volta celeste (come certi valori di longitudine eclittica).

Considerando l’ipotesi 1, per affrontare un esempio classico di evento astronomico nonché fondamentale riferimento come l’equinozio di primavera (quando la longitudine eclittica del Sole vale esattamente 0°), si può facilmente verificare che esso in un periodo di 8 anni come quello dal 1980 al 1987 scoccava nei seguenti istanti:

Equinozio
20 marzo 198011:11 TU
20 marzo 1981 17:04 TU
20 marzo 198222:57 TU
21 marzo 1983 4:40 TU
20 marzo 198410:25 TU
20 marzo 1985 16:15 TU
20 marzo 198622:04 TU
21 marzo 1987 3:53 TU

È evidente anche per il profano come il fenomeno astronomico, rigorosamente scandito dalla meccanica celeste, appaia “ballerino” e “irregolare” se incasellato in un sistema cronometrico che segue un altro, proprio ritmo, come l’attuale calendario gregoriano (che deve fare anzi esso le acrobazie, come sappiamo, per stare al passo col “calendario” tropico), cambiando data ogni qualche anno.

Inoltre, altra realtà forse meno evidente ma non meno importante, considerando che in questo esempio gli istanti sono espressi in Tempo Universale e che perciò le date e le ore corrispondenti sono quelle di Greenwich, è facile constatare che se volessi riferire gli stessi istanti a fusi diversi, la tabella varierebbe di conseguenza, non solo negli orari, ma in certi casi anche nelle date. Si considerino ad esempio i casi di New York, 5 ore indietro rispetto a Greenwich, o di Atene, 2 ore più avanti:

Equinozio a New York
20 marzo 19806:11
20 marzo 1981 12:04
20 marzo 198217:57
20 marzo 1983 23:40
20 marzo 19845:25
20 marzo 1985 11:15
20 marzo 198617:04
20 marzo 1987 22:53
Equinozio ad Atene
20 marzo 198013:11
20 marzo 1981 19:04
21 marzo 1982 0:57
21 marzo 1983 6:40
20 marzo 1984 12:25
20 marzo 1985 18:15
21 marzo 1986 0:04
21 marzo 1987 5:53

Sia a New York che ad Atene le date differiscono 2 volte in 8 anni da quelle di Greenwich, sebbene per motivi opposti: come dire che nello specificare “altrove” le date per simili eventi c’è una probabilità del 25% che differiscano. Da quest’analisi preliminare dovrebbero perciò risultare evidenti almeno due fatti, ovviamente noti e che qui riassumiamo:

  1. sebbene esista un momento o meglio una posizione precisa nello spazio in cui venendosi a trovare il Sole si verifica un fenomeno astronomico (come l’ingresso in un segno dello zodiaco), non esiste una data altrettanto precisa, cioè univoca e fissa nel calendario, a cui riferire sempre, per tutti gli anni, quello stesso evento, se non convenzionalmente, nella tradizione popolare, o tra la gente comune (ma anche tra certi autori, che ad esempio riportano il 20 marzo come inizio della primavera): la data, insomma, ma anche e soprattutto l’ora, varia di anno in anno, e non scocca certo alla mezzanotte come una ricorrenza civile;
  2. gli istanti sono universali, cioè si verificano contemporaneamente in tutto il mondo, quindi non è sufficiente, ad esempio, dire che un fenomeno cade il 21 marzo 1987, né indicare le 5:53 per cercare di essere più precisi, se non si specifica a quale fuso ci si riferisce (nell’esempio, l’inizio della primavera 1987, l’alba del 21 ad Atene, cade quando a New York è ancora la sera del giorno prima, il 20): è più prudente allora, specie in fase di calcolo, usare come riferimento il Tempo Universale per evitare ambiguità od errori.

Ed abbiamo parlato “solo” degli eventi astronomici…

Che dire delle date civili?

Nell’ipotesi 2 descritta sopra, le cose, all’inizio, sono indubbiamente più semplici: mancando un istante obbligato a cui riferire la data da celebrare (a meno che non si voglia considerare l’inizio del giorno, cioè la mezzanotte precedente, locale o del fuso, in cui lo stesso scocca), si può scegliere un momento qualsiasi della giornata.

Probabilmente, dovendo scegliere comunque un’ora qualsiasi, e l’una valendo l’altra, apparirà più logico scegliere di calcolare la declinazione solare riferendola ad esempio all’istante centrale della giornata, cioè il mezzogiorno, locale o del fuso, istante certamente più giustificato dal fatto che in quel momento il quadrante sta effettivamente lavorando e la declinazione viene raggiunta dal Sole “sotto i nostri occhi”, evento ben più difficile a cui assistere a mezzanotte…

In ogni caso, conoscendo oltre alla data anche l’ora a cui riferire la linea diurna da tracciare sul quadrante, mi resterebbe dunque soltanto da calcolare la declinazione del Sole a quell’istante, ma… nocciolo della questione, per qualsiasi anno e non solo per questo o quell’altro.

In effetti ciò che vorrei sarebbe che la linea diurna che andassi a tracciare fosse accurata, attendibile, approssimata il meglio possibile per il maggior numero di anni, sia nel passato sia, soprattutto, nel futuro, anche di qui a 3 o 4 secoli…

E che, per quanto detto fin qui, fosse meglio approssimata possibile anche la data riportata lungo la linea, cioè che rispecchiasse la realtà dei fatti per il maggior numero di anni, con la maggior frequenza possibile.

In pratica è facile raggiungere questo risultato, ottenendosi semplicemente calcolando la media aritmetica degli istanti dell’anno effettivi, e, contestualmente, anche quella delle declinazioni corrispondenti.

Così, se consideriamo stavolta come esempio di fenomeno astronomico l’ingresso del Sole nel segno zodiacale della Vergine ( = 150°), per il periodo 1980-1987, ne possiamo facilmente calcolare istanti e declinazioni reali e medii:

Ingresso nella Vergine ( = 150°)
23 agosto 1980, 0:42 TMECδ = +11°28'20"
23 agosto 1981, 6:39 TMEC δ = +11°28'21"
23 agosto 1982, 12:16 TMECδ = +11°28'23"
23 agosto 1983, 18:08 TMEC δ = +11°28'23"
23 agosto 1984, 0:01 TMECδ = +11°28'25"
23 agosto 1985, 5:37 TMEC δ = +11°28'25"
23 agosto 1986, 11:27 TMECδ = +11°28'26"
23 agosto 1987, 17:11 TMECδ = +11°28'26"
Ist.med: 23 ago, 9:00 TMEC δmed = +11°28'24"

(Si noti che date ed orari, compreso l’istante medio, sono espressi in quest’esempio secondo il fuso orario dell’Italia, che è quello dell’Europa centrale: perciò si ricordi, ancora una volta, che dire che il Sole entra nella Vergine mediamente, tra il 1980 ed il 1987, il 23 agosto alle 9:00 è corretto a Roma o a Stoccolma, mentre ad Anchorage bisogna dire che ciò accade il 22 agosto alle 22:00.)

Applicando lo stesso procedimento ad una data civile, come ad esempio il 1° maggio, per il periodo 2001-2008, e riferendomi, anziché alle 0:00, all’istante più utile delle 12:00 TMEC (le 11:00 TU), considerando che voglio realizzare un quadrante per l’Italia, ottengo:

1° maggio, 11:00 TU
2001 δ = +15°10'05"
2002 δ = +15°05'40"
2003 δ = +15°01'27"
2004 δ = +15°15'13"
2005 δ = +15°10'47"
2006 δ = +15°06'33"
2007 δ = +15°02'09"
2008 δ = +15°15'53"
2001-2008 δmed = +15°08'28"

A questo punto sembrerebbe che avessi ottenuto i risultati che cercavo, e che non mi rimanesse altro che estendere le procedure di calcolo a tutti i segni dello zodiaco o a tutti i giorni dell’anno…

Ma in effetti qualcosa da aggiungere ci sarebbe ancora, prima di procedere in quel modo.

Negli esempi fatti finora mi sono limitato, per semplicità espositiva, sia a considerare periodi brevi (solo 8 anni) sia molto vicini all’epoca attuale; ma che cosa accade allontanando e/o estendendo il periodo considerato per calcolare le medie?

I lettori più attenti e più preparati avranno notato qualcosa scorrendo i valori delle declinazioni calcolati sopra, sia nel caso dell’evento astronomico (Vergine) sia in quello della data civile (1° maggio).

Sebbene in maniera impercettibile, ed in un periodo così limitato, si manifesta un’inequivocabile tendenza della declinazione a variare anno dopo anno, in particolare ad aumentare: nel caso della declinazione legata al fenomeno astronomico quasi 1" all’anno, in quello della declinazione legata alla data civile mediamente addirittura oltre 10".

Spiegare i motivi di questo fenomeno e del perché le tendenze differiscano nei due casi esula dagli obiettivi di questo studio (si tratta di perturbazioni combinate di diverso tipo e complessità, che rimandano all’astronomia fondamentale), ma quello che appare evidente è che le declinazioni che solitamente abbiniamo a quegli eventi così particolari se ne stanno tutt’altro che tranquille…

E calcolarne i valori medii non deve illuderci di tenerle definitivamente sotto controllo…

A riprova di questa realtà proviamo a modificare l’approccio e a vedere che cosa accade.

Considero gli stessi eventi (Vergine e 1° maggio), sempre per 8 anni, ma collocandone i periodi in epoche lontane da quella attuale, diciamo di 4 secoli, sia nel passato (intorno al 1600) sia nel futuro (intorno al 2400), ed inserendo per confronto un analogo periodo riferito all’epoca attuale:

Ingresso nella Vergine ( = 150°)
1597-1604Ist.med: 23 ago, 12:11 TMEC δmed = +11°29'47"
1997-2004Ist.med: 23 ago, 5:36 TMEC δmed = +11°28'18"
2397-2404Ist.med: 22 ago, 21:55 TMEC δmed = +11°26'52"

Le variazioni medie che se ne deducono sono un anticipo dell’evento di poco più di 1m all’anno e una diminuzione della declinazione di quasi 22" ogni secolo.

1° maggio, 11:00 TU
1597-1604 δmed = +15°05'53"
1997-2004 δmed = +15°07'48"
2397-2404 δmed = +15°09'49"

La variazione media che se ne deduce è un aumento della declinazione di oltre 29" ogni secolo. Considerando gli stessi eventi, ma estendendone stavolta le durate da 8 a 80 anni e mantenendoli “centrati” sulle stesse epoche (in sostanza, perciò, aggiungendo 36 anni prima e 36 dopo), ottengo:

Ingresso nella Vergine ( = 150°) 1961-2040
Ist.med: 23 ago, 5:32 TMEC δmed = +11°28'19"

 

1° maggio, 11:00 TU
1961-2040 δmed = +15°07'53"

(In entrambi i casi c’è un leggerissimo aumento della declinazione, mentre l’ingresso del Sole nella Vergine avviene mediamente con qualche minuto d’anticipo.)

Conclusioni

Di prove così potrebbero farsene molte altre, anche combinando diverse durate e diverse epoche, ma la conclusione sarebbe in ogni caso una sola.

L’istante medio di un evento astronomico o la declinazione media per così dire ufficiali non esistono, sono utopistici. Le orbite celesti sono in perenne evoluzione, le interazioni, le perturbazioni, le fluttuazioni sono innumerevoli e non sempre facili da calcolare e prevedere. Tutto quello che si muove in cielo, la Terra per prima (e apparentemente il Sole), è soggetto a divenire: conosciamo tutti la precessione degli equinozi, la nutazione e tutto il resto. L’obliquità dell’eclittica, tanto per citare una grandezza “famosa”, viene spesso dichiarata, nei testi divulgativi o meno specialistici, di 23°26' (o di 23°27' in quelli meno aggiornati), o addirittura di 23.5°, lasciando credere oltretutto, arrotondamenti a parte, che quel valore sia fisso ed immutabile, anziché in diminuzione, come sappiamo. Non ci possono essere valori di riferimento assoluti, migliori o più precisi di altri. Possono essercene di ottimi e attendibilissimi, ma relativi, da conoscere ed usare purché se ne riconoscano i limiti, gli ambiti.

Così, tornando alle linee diurne o di declinazione dei nostri quadranti solari, il massimo che possiamo fare, o meglio, che io faccio nei miei lavori, è di calcolare (e basta farlo una volta sola!) le declinazioni medie sia degli eventi astronomici come l’ingresso del Sole nei segni zodiacali, e quindi delle stagioni, sia di tutti i giorni dell’anno, riferiti alle 12:00 TMEC (11:00 TU); nel caso dei segni zodiacali, come abbiamo visto, questo vuol dire calcolare preventivamente gli istanti medii dei rispettivi eventi. Tutto ciò considerando un periodo sufficientemente ampio, come 40 anni, 80, o anche 200, 400 ecc. dall’epoca attuale verso il futuro, secondo le aspettative che riponiamo nella durevolezza della nostra opera, affinché i posteri osservando i nostri capolavori soltanto fra due o tre secoli non ci compatiscano scuotendo la testa e con un sorrisetto per non aver tenuto conto delle variazioni delle declinazioni e degli spostamenti delle date…

Perciò, in definitiva, mi permetto di pubblicare, nelle due tabelle seguenti, i risultati di questo calcolo.

  1. Nella prima tabella, relativa ai segni zodiacali, ciascun istante è il risultato della media aritmetica dei veri istanti calcolati in un periodo di 400 anni, dal 2001 al 2400 (durata media anno: 365.2425d); vengono forniti anche gl’istanti più precoce e più tardo verificatisi nel periodo. Ciascuna declinazione del Sole è il risultato della media aritmetica delle vere declinazioni calcolate per gli stessi istanti.
  2. Nella seconda tabella, relativa alle date civili, ciascun valore quotidiano è il risultato della media aritmetica dei veri valori calcolati in un periodo di 400 anni, dal 2001 al 2400 (durata media anno: 365.2425d), riferiti alle 11:00 TU di ogni giorno.

In entrambe le tabelle gli angoli delle declinazioni vengono espressi sia nel formato gradi-primi-secondi sia in quello gradi.decimali.

La scelta di considerare il periodo di 400 anni, anziché di 10, 20 o 100 ecc. non è certo casuale: com’è noto 400 sono gli anni dopo i quali si ripete il ciclo alla base dell’attuale calendario gregoriano, che con 365.2425d di media all’anno si tiene al passo con l’anno tropico (365.2422d) in maniera tutto sommato ragionevolmente semplice e precisa.

La scelta di riferire il periodo agli anni 2001-2400, invece, deriva unicamente dal trovarci attualmente in quest’epoca, con lo sguardo al futuro…

Istanti d’ingresso del Sole nei segni zodiacali e declinazioni corrispondenti
calcolati nell’anno medio (periodo 2001-2400)
Acquario min 19 gen 2097, 7:30 TU
20 gen, 10:24 TU ( = 300°, δ = −20°07'42" = −20.1282°)
max 21 gen 2304, 13:16 TU
Pesci min 17 feb 2097, 21:23 TU
18 feb, 23:59 TU ( = 330°, δ = −11°27'35" = −11.4598°)
max 20 feb 2304, 2:33 TU
Ariete (p) min 19 mar 2096, 14:06 TU
20 mar, 16:01 TU ( = 0°, δ = 0°00'00" = 0.0000°)
max 21 mar 2303, 18:06 TU
Toro min 19 apr 2096, 0:30 TU
20 apr, 1:39 TU ( = 30°, δ = +11°27'35" = +11.4598°)
max 21 apr 2303, 3:00 TU
Gemelli min 19 mag 2096, 23:01 TU
20 mag, 23:28 TU ( = 60°, δ = +20°07'42" = +20.1282°)
max 22 mag 2303, 0:08 TU
Cancro (e) min 20 giu 2096, 6:34 TU
21 giu, 6:34 TU ( = 90°, δ = +23°24'47" = +23.4130°)
max 22 giu 2303, 6:48 TU
Leone min 21 lug 2096, 17:22 TU
22 lug, 17:19 TU ( = 120°, δ = +20°07'42" = +20.1282°)
max 23 lug 2303, 17:30 TU
Vergine min 22 ago 2096, 0:44 TU
23 ago, 1:01 TU ( = 150°, δ = +11°27'35" = +11.4598°)
max 24 ago 2303, 1:32 TU
Bilancia (a) min 21 set 2096, 22:58 TU
22 set, 23:53 TU ( = 180°, δ = 0°00'00" = 0.0000°)
max 24 set 2303, 1:00 TU
Scorpione min 22 ott 2096, 8:59 TU
23 ott, 10:40 TU ( = 210°, δ = −11°27'35" = −11.4598°)
max 24 ott 2303, 12:30 TU
Sagittario min 21 nov 2096, 7:08 TU
22 nov, 9:30 TU ( = 240°, δ = −20°07'41" = −20.1282°)
max 23 nov 2303, 11:57 TU
Capricorno (i) min 20 dic 2096, 20:49 TU
21 dic, 23:38 TU ( = 270°, δ = −23°24'47" = −23.4130°)
max 23 dic 2303, 2:27 TU

 

Valori quotidiani della Declinazione Solare
calcolati nell’anno medio (periodo 2001-2400)
GENFEBMARAPRMAGGIULUGAGOSETOTTNOVDIC
1−22°59'03"
−22.9842°
−17°06'38"
−17.1105°
−7°30'54"
−7.5150°
+4°37'14"
+4.6204°
+15°08'40"
+15.1444°
+22°04'23"
+22.0729°
+23°03'25"
+23.0569°
+17°54'27"
+17.9075°
+8°09'24"
+8.1566°
−3°17'00"
−3.2832°
−14°28'29"
−14.4749°
−21°47'55"
−21.7986°
2−22°53'56"
−22.8990°
−16°49'27"
−16.8241°
−7°08'01"
−7.1336°
+5°00'21"
+5.0057°
+15°26'38"
+15.4439°
+22°12'12"
+22.2034°
+22°59'02"
+22.9840°
+17°39'08"
+17.6522°
+7°47'36"
+7.7932°
−3°40'10"
−3.6694°
−14°47'29"
−14.7915°
−21°56'57"
−21.9493°
3−22°48'22"
−22.8062°
−16°31'58"
−16.5329°
−6°45'02"
−6.7506°
+5°23'22"
+5.3895°
+15°44'21"
+15.7391°
+22°19'39"
+22.3274°
+22°54'16"
+22.9044°
+17°23'32"
+17.3921°
+7°25'40"
+7.4277°
−4°03'18"
−4.0550°
−15°06'15"
−15.1041°
−22°05'35"
−22.0929°
4−22°42'21"
−22.7058°
−16°14'13"
−16.2368°
−6°21'58"
−6.3660°
+5°46'18"
+5.7717°
+16°01'48"
+16.0300°
+22°26'41"
+22.4448°
+22°49'05"
+22.8182°
+17°07'39"
+17.1274°
+7°03'37"
+7.0603°
−4°26'23"
−4.4397°
−15°24'46"
−15.4127°
−22°13'46"
−22.2295°
5−22°35'53"
−22.5979°
−15°56'10"
−15.9361°
−5°58'48"
−5.9799°
+6°09'08"
+6.1522°
+16°18'59"
+16.3164°
+22°33'21"
+22.5557°
+22°43'31"
+22.7253°
+16°51'29"
+16.8580°
+6°41'27"
+6.6909°
−4°49'25"
−4.8235°
−15°43'01"
−15.7170°
−22°21'32"
−22.3589°
6−22°28'57"
−22.4826°
−15°37'51"
−15.6307°
−5°35'33"
−5.5924°
+6°31'51"
+6.5309°
+16°35'54"
+16.5982°
+22°39'36"
+22.6600°
+22°37'33"
+22.6259°
+16°35'03"
+16.5841°
+6°19'11"
+6.3198°
−5°12'23"
−5.2064°
−16°01'02"
−16.0171°
−22°28'52"
−22.4810°
7−22°21'36"
−22.3599°
−15°19'15"
−15.3209°
−5°12'13"
−5.2037°
+6°54'28"
+6.9077°
+16°52'32"
+16.8754°
+22°45'27"
+22.7576°
+22°31'12"
+22.5200°
+16°18'21"
+16.3058°
+5°56'49"
+5.9469°
−5°35'17"
−5.5881°
−16°18'46"
−16.3127°
−22°35'45"
−22.5959°
8−22°13'47"
−22.2298°
−15°00'24"
−15.0067°
−4°48'49"
−4.8137°
+7°16'57"
+7.2826°
+17°08'53"
+17.1479°
+22°50'55"
+22.8486°
+22°24'27"
+22.4075°
+16°01'23"
+16.0232°
+5°34'20"
+5.5723°
−5°58'07"
−5.9687°
−16°36'14"
−16.6038°
−22°42'12"
−22.7035°
9−22°05'33"
−22.0925°
−14°41'18"
−14.6883°
−4°25'22"
−4.4228°
+7°39'20"
+7.6555°
+17°24'56"
+17.4156°
+22°55'58"
+22.9328°
+22°17'19"
+22.2886°
+15°44'10"
+15.7362°
+5°11'47"
+5.1963°
−6°20'53"
−6.3480°
−16°53'25"
−16.8902°
−22°48'13"
−22.8036°
10−21°56'52"
−21.9479°
−14°21'57"
−14.3657°
−4°01'51"
−4.0309°
+8°01'34"
+8.0261°
+17°40'43"
+17.6785°
+23°00'37"
+23.0104°
+22°09'48"
+22.1633°
+15°26'42"
+15.4451°
+4°49'07"
+4.8187°
−6°43'33"
−6.7259°
−17°10'19"
−17.1719°
−22°53'46"
−22.8962°
11−21°47'46"
−21.7962°
−14°02'21"
−14.0392°
−3°38'17"
−3.6381°
+8°23'40"
+8.3945°
+17°56'11"
+17.9364°
+23°04'52"
+23.0811°
+22°01'54"
+22.0317°
+15°08'59"
+15.1499°
+4°26'23"
+4.4398°
−7°06'08"
−7.1023°
−17°26'55"
−17.4487°
−22°58'53"
−22.9814°
12−21°38'15"
−21.6374°
−13°42'31"
−13.7087°
−3°14'41"
−3.2446°
+8°45'38"
+8.7606°
+18°11'21"
+18.1892°
+23°08'42"
+23.1451°
+21°53'38"
+21.8938°
+14°51'02"
+14.8506°
+4°03'35"
+4.0597°
−7°28'37"
−7.4771°
−17°43'14"
−17.7205°
−23°03'32"
−23.0590°
13−21°28'18"
−21.4716°
−13°22'28"
−13.3745°
−2°51'02"
−2.8505°
+9°07'27"
+9.1242°
+18°26'13"
+18.4369°
+23°12'08"
+23.2022°
+21°44'58"
+21.7496°
+14°32'51"
+14.5474°
+3°40'42"
+3.6783°
−7°51'01"
−7.8502°
−17°59'14"
−17.9872°
−23°07'44"
−23.1290°
14−21°17'56"
−21.2989°
−13°02'12"
−13.0366°
−2°27'21"
−2.4559°
+9°29'07"
+9.4853°
+18°40'46"
+18.6794°
+23°15'09"
+23.2525°
+21°35'57"
+21.5992°
+14°14'26"
+14.2404°
+3°17'45"
+3.2959°
−8°13'17"
−8.2215°
−18°14'55"
−18.2487°
−23°11'29"
−23.1913°
15−21°07'10"
−21.1194°
−12°41'43"
−12.6952°
−2°03'39"
−2.0608°
+9°50'37"
+9.8437°
+18°55'00"
+18.9167°
+23°17'46"
+23.2960°
+21°26'34"
+21.4427°
+13°55'47"
+13.9297°
+2°54'45"
+2.9125°
−8°35'27"
−8.5909°
−18°30'18"
−18.5049°
−23°14'46"
−23.2460°
16−20°55'59"
−20.9331°
−12°21'01"
−12.3503°
−1°39'56"
−1.6655°
+10°11'58"
+10.1994°
+19°08'55"
+19.1485°
+23°19'57"
+23.3326°
+21°16'48"
+21.2801°
+13°36'55"
+13.6152°
+2°31'41"
+2.5281°
−8°57'30"
−8.9582°
−18°45'21"
−18.7557°
−23°17'35"
−23.2929°
17−20°44'25"
−20.7402°
−12°00'08"
−12.0022°
−1°16'12"
−1.2699°
+10°33'08"
+10.5523°
+19°22'30"
+19.3750°
+23°21'44"
+23.3623°
+21°06'42"
+21.1115°
+13°17'50"
+13.2972°
+2°08'35"
+2.1429°
−9°19'25"
−9.3235°
−19°00'04"
−19.0010°
−23°19'56"
−23.3321°
18−20°32'26"
−20.5406°
−11°39'03"
−11.6508°
−0°52'27"
−0.8742°
+10°54'08"
+10.9023°
+19°35'45"
+19.5959°
+23°23'07"
+23.3852°
+20°56'13"
+20.9370°
+12°58'32"
+12.9757°
+1°45'25"
+1.7571°
−9°41'11"
−9.6865°
−19°14'26"
−19.2407°
−23°21'49"
−23.3636°
19−20°20'05"
−20.3346°
−11°17'47"
−11.2963°
−0°28'42"
−0.4785°
+11°14'57"
+11.2492°
+19°48'41"
+19.8113°
+23°24'04"
+23.4011°
+20°45'24"
+20.7566°
+12°39'03"
+12.6507°
+1°22'14"
+1.3705°
−10°02'50"
−10.0472°
−19°28'28"
−19.4746°
−23°23'14"
−23.3872°
20−20°07'20"
−20.1222°
−10°56'20"
−10.9389°
−0°04'58"
−0.0828°
+11°35'35"
+11.5931°
+20°01'16"
+20.0210°
+23°24'37"
+23.4102°
+20°34'13"
+20.5703°
+12°19'21"
+12.3225°
+0°59'00"
+0.9835°
−10°24'20"
−10.4055°
−19°42'10"
−19.7027°
−23°24'11"
−23.4030°
21−19°54'12"
−19.9034°
−10°34'43"
−10.5786°
+0°18'45"
+0.3126°
+11°56'01"
+11.9337°
+20°13'30"
+20.2250°
+23°24'44"
+23.4124°
+20°22'42"
+20.3783°
+11°59'28"
+11.9910°
+0°35'45"
+0.5959°
−10°45'40"
−10.7612°
−19°55'29"
−19.9248°
−23°24'40"
−23.4111°
22−19°40'43"
−19.6785°
−10°12'56"
−10.2156°
+0°42'28"
+0.7077°
+12°16'16"
+12.2711°
+20°25'24"
+20.4232°
+23°24'27"
+23.4076°
+20°10'50"
+20.1807°
+11°39'23"
+11.6564°
+0°12'29"
+0.2081°
−11°06'51"
−11.1142°
−20°08'27"
−20.1409°
−23°24'41"
−23.4113°
23−19°26'51"
−19.4475°
−9°51'00"
−9.8499°
+1°06'09"
+1.1024°
+12°36'18"
+12.6051°
+20°36'56"
+20.6156°
+23°23'46"
+23.3960°
+19°58'39"
+19.9774°
+11°19'07"
+11.3187°
−0°10'48"
−0.1801°
−11°27'52"
−11.4645°
−20°21'03"
−20.3509°
−23°24'13"
−23.4036°
24−19°12'38"
−19.2104°
−9°28'54"
−9.4818°
+1°29'48"
+1.4966°
+12°56'08"
+12.9356°
+20°48'07"
+20.8020°
+23°22'39"
+23.3775°
+19°46'07"
+19.7686°
+10°58'41"
+10.9780°
−0°34'06"
−0.5684°
−11°48'43"
−11.8120°
−20°33'17"
−20.5546°
−23°23'17"
−23.3882°
25−18°58'03"
−18.9675°
−9°06'40"
−9.1112°
+1°53'25"
+1.8902°
+13°15'45"
+13.2626°
+20°58'57"
+20.9825°
+23°21'08"
+23.3522°
+19°33'15"
+19.5543°
+10°38'04"
+10.6345°
−0°57'24"
−0.9567°
−12°09'23"
−12.1564°
−20°45'07"
−20.7521°
−23°21'54"
−23.3649°
26−18°43'07"
−18.7187°
−8°44'18"
−8.7383°
+2°16'59"
+2.2832°
+13°35'09"
+13.5859°
+21°09'25"
+21.1569°
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+23.3200°
+19°20'05"
+19.3346°
+10°17'18"
+10.2882°
−1°20'42"
−1.3451°
−12°29'52"
−12.4978°
−20°56'35"
−20.9431°
−23°20'02"
−23.3338°
27−18°27'52"
−18.4643°
−8°21'48"
−8.3633°
+2°40'31"
+2.6753°
+13°54'20"
+13.9055°
+21°19'31"
+21.3251°
+23°16'51"
+23.2810°
+19°06'35"
+19.1096°
+9°56'21"
+9.9392°
−1°44'00"
−1.7333°
−12°50'09"
−12.8359°
−21°07'39"
−21.1276°
−23°17'42"
−23.2949°
28−18°12'15"
−18.2043°
−7°59'10"
−7.9862°
+3°03'59"
+3.0665°
+14°13'16"
+14.2212°
+21°29'14"
+21.4873°
+23°14'06"
+23.2351°
+18°52'46"
+18.8794°
+9°35'15"
+9.5875°
−2°07'17"
−2.1213°
−13°10'15"
−13.1708°
−21°18'20"
−21.3054°
−23°14'54"
−23.2482°
29−17°56'20"
−17.9388°
−7°36'26"
−7.6072°
+3°27'24"
+3.4567°
+14°31'59"
+14.5330°
+21°38'35"
+21.6432°
+23°10'57"
+23.1825°
+18°38'38"
+18.6439°
+9°14'00"
+9.2334°
−2°30'33"
−2.5091°
−13°30'08"
−13.5022°
−21°28'36"
−21.4766°
−23°11'38"
−23.1938°
30−17°40'04"
−17.6679°
 +3°50'45"
+3.8459°
+14°50'27"
+14.8408°
+21°47'34"
+21.7928°
+23°07'23"
+23.1230°
+18°24'12"
+18.4034°
+8°52'36"
+8.8768°
−2°53'47"
−2.8964°
−13°49'48"
−13.8301°
−21°38'28"
−21.6411°
−23°07'54"
−23.1316°
31−17°23'30"
−17.3918°
 +4°14'02"
+4.2338°
 +21°56'10"
+21.9360°
 +18°09'29"
+18.1579°
+8°31'04"
+8.5178°
 −14°09'16"
−14.1544°
 −23°03'42"
−23.0617°
GENFEBMARAPRMAGGIULUGAGOSETOTTNOVDIC

Bibliografia

Meeus, Jean. Astronomical algorithms. 2nd ed. Richmond (Va., USA), Willmann-Bell, 1998. IV, 478 p. ISBN 0-943396-61-1.

Giorgi, Antonio. “Date civili, segni zodiacali, stagioni e declinazioni”. Gnomonica Italiana, n. 15 (giu. 2008), p. 25-30.